Как найти обьем многогранника. Как найти объем многогранника

" мы уже рассмотрели теоретические моменты, которые необходимы для решения.

В составе ЕГЭ по математике имеется целый ряд задач на определение площади поверхности и объема составных многогранников. Это, наверное, одни из самых простых задач по стереометрии. НО! Имеется нюанс. Не смотря на то, что сами вычисления просты, ошибку при решении такой задачи допустить очень легко.

В чём же дело? Далеко не все обладают хорошим пространственным мышлением, чтобы сразу увидеть все грани и параллелепипеды из которых «состоят» многогранники. Даже если вы умеете делать это очень хорошо, можете мысленно сделать такую разбивку, всё-таки следует не торопиться и воспользоваться рекомендациями из этой статьи.

Кстати, пока работал над данным материалом, нашёл ошибку в одной из задач на сайте. Нужна внимательность и ещё раз внимательность, вот так.

Итак, если стоит вопрос о площади поверхности, то на листе в клетку постройте все грани многогранника, обозначьте размеры. Далее внимательно вычисляйте сумму площадей всех полученных граней. Если будете предельно внимательны при построении и вычислении, то ошибка будет исключена.

Используем оговоренный способ. Он нагляден. На листе в клетку строим все элементы (грани) в масштабе. Если длины рёбер будут большими, то просто подпишите их.

Ответ: 72

Решите самостоятельно:

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Ещё задачи , . В них приведены решения другим способом (без построения), постарайтесь разобраться — что откуда взялось. Также решите уже представленным способом.

* * *

Если требуется найти объём составного многогранника. Разбиваем многогранник на составляющие его параллелепипеды, записываем внимательно длины их рёбер и вычисляем.

Объем многогранника, изображенного на рисунке равен сумме объёмов двух многогранников с рёбрами 6,2,4 и 4,2,2

Ответ: 64

Решите самостоятельно:

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

Найдите объем пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов.

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Дорогие друзья! Для вас очередная статья с призмами. Имеется в составе экзамена такой тип заданий, в которых требуется определить объём многогранника. При чём он дан не в «чистом виде», а сначала его требуется построить. Я бы выразился так – его нужно «увидеть» в другом заданном теле.

Статья на с такими заданиями уже была на блоге, . В представленных ниже заданиях даются прямые правильные призмы – треугольная или шестиугольная. Если совсем позабыли что такое призма, то .

В правильной призме в основании лежит правильный многоугольник. Следовательно в основании правильной треугольной призмы лежит равносторонний треугольник, а в основании правильной шестиугольной призмы лежит правильный шестиугольник.

При решении задач используется формула объёма пирамиды, рекомендую посмотреть информацию . Так же будет полезно с параллелепипедами, принцип решения заданий схож. Ещё раз посмотрите формулы, которые необходимо знать.

Объём призмы:

Объём пирамиды:

245340. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, В, С, А 1 правильной треугольной призмы АВСА 1 В 1 С 1 , площадь основания которой равна 2, а боковое ребро равно 3.

Получили пирамиду с основанием АВС и вершиной А 1 . Площадь её основания равна площади основания призмы (основание общее). Высота также общая. Объём пирамиды равен:

Ответ: 2

245341. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, В, С, А 1 , С 1 , правильной треугольной призмы АВСА 1 В 1 С 1 , площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 2.

Построим указанный многогранник на эскизе:

Это пирамида с основанием АА 1 С 1 С и высотой равной расстоянию между ребром АС и вершиной В. Но в данном случае вычислять площадь этого основания и указанную высоту слишком долгий путь к результату. Проще поступить следующим образом:

Чтобы получить объём указанного многогранника необходимо из объёма данной призмы АВСА 1 В 1 С 1 вычесть объём пирамиды ВА 1 В 1 С 1 . Запишем:

Ответ: 4

245342. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А 1 , В 1 , В, С, правильной треугольной призмы АВСА 1 В 1 С 1 , площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3.

Построим указанный многогранник на эскизе:

Чтобы получить объём указанного многогранника необходимо из объёма призмы АВСА 1 В 1 С 1 вычесть объёмы двух тел – пирамиды ABCА 1 и пирамиды CА 1 В 1 С 1 . Запишем:

Ответ: 4

245343. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D, E, F, A 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3.

Построим указанный многогранник на эскизе:

Это пирамида имеющая общее основание с призмой и высотой равной высоте призмы. Объём пирамиды будет равен:

Ответ: 4

245344. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, В, С, A 1 , B 1 , C 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3.

Построим указанный многогранник на эскизе:

Полученный многогранник является прямой призмой. Объём призмы равен произведению площади основания и высоты.

Высота исходной призмы и полученной общая, она равна трём (это длина бокового ребра). Остаётся определить площадь основания, то есть треугольника АВС.

Так как призма правильная, то в её основании лежит правильный шестиугольник. Площадь треугольника АВС равна одной шестой части этого шестиугольника, подробнее об этом (пункт 6). Следовательно площадь АВС равна 1. Вычисляем:

Ответ: 3

245345. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, В, D, E, A 1 , B 1 , D 1 , E 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 2.

Построим указанный многогранник на эскизе:

Высота исходной призмы и полученной общая, она равна двум (это длина бокового ребра). Остаётся определить площадь основания, то есть четырёхугольника АВDЕ.

Так как призма правильная, то в её основании лежит правильный шестиугольник. Площадь четырехугольника АВDЕ равна четырём шестым этого шестиугольника. Почему? Подробнее об этом посмотрите (пункт 6). Следовательно площадь АВDЕ будет равна 4. Вычисляем:

Ответ: 8

245346. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, В, C, D, A 1 , B 1 , С 1 , D 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 2.

Построим указанный многогранник на эскизе:

Полученный многогранник является прямой призмой.

Высота исходной призмы и полученной общая, она равна двум (это длина бокового ребра). Остаётся определить площадь основания, то есть четырёхугольника АВCD. Отрезок AD соединяет диаметрально противоположные точки правильного шестиугольника, а это означает, что он разбивает его на две равные трапеции. Следовательно площадь четырёхугольника АВCD (трапеции) равна трём.

Вычисляем:

Ответ: 6

245347. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3.

Построим указанный многогранник на эскизе:

Полученный многогранник является пирамидой с основанием АВС и высотой ВВ 1 .

*Высота исходной призмы и полученной общая, она равна трём (это длина бокового ребра).

Остаётся определить площадь основания пирамиды, то есть треугольника АВC. Она равна одной шестой площади правильного шестиугольника, являющегося основанием призмы. Вычисляем:

Ответ: 1

245357. Найдите объем правильной шестиугольной призмы, все ребра которой равны корню из трёх.

Объём призмы равен произведению площади основания призмы и её высоты.

Высота прямой призмы равна её боковому ребру, то есть она уже нам дана – это корень из трёх. Вычислим площадь правильного шестиугольника лежащего в основании. Его площадь равна шести площадям равных друг другу правильных треугольников, при чём сторона такого треугольника равна ребру шестиугольника:

*Использовали формулу площади треугольника – площадь треугольника равна половине произведения соседних сторон на синус угла между ними.

Вычисляем объём призмы:

Ответ: 13,5

Что можно отметить особо? Внимательно стройте многогранник, не мысленно, а именно на листочке прорисуйте его. Тогда вероятность ошибки из-за невнимательности будет исключена. Запомните свойства правильного шестиугольника. Ну и формулы объёма, которые использовали важно помнить.

Решите две задачи на объём самостоятельно:

27084. Найдите объем правильной шестиугольной призмы, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны √3.

27108. Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 2, а боковые ребра равны 2√3 и наклонены к плоскости основания под углом 30 0 .

На этом всё. Удачи!

С уважением, Александр.

P.S: Буду благодарен, если расскажете о сайте в социальных сетях

Прежде всего определимся, что же такое многогранник. Это трехмерная геометрическая фигура, грани которой представлены в виде плоских многоугольников. Единой формулы поиска объема многогранника не существует, так как многогранники бывают разной формы. Для того чтобы найти объем сложного многогранника, его условно делят на несколько простых, таких как параллелепипед, призма, пирамида, а затем складывают объемы простых многогранников и получают в результате искомый объем фигуры.

Как найти объем многогранника – параллелепипеда

Для начала найдем площадь прямоугольного параллелепипеда. У такой геометрической фигуры все грани представлены в виде плоских прямоугольных фигур.

Самый простой прямоугольный параллелепипед – это куб. Все ребра куба равны между собой. Всего у такого параллелепипеда 6 граней, то есть 6 одинаковых квадратов. Объем такой фигуры рассчитывается таким образом:

где a – длина любого ребра куба.

Объем прямоугольного параллелепипеда, стороны которого имеют различные измерения, рассчитывается по следующей формуле:

где a, b и с – длины ребер.

Как найти объем многогранника – наклонного параллелепипеда

У наклонного параллелепипеда так же 6 граней, 2 их них – основания фигуры, еще 4 – боковые грани. Наклонный параллелепипед отличается от прямого тем, что его боковые грани по отношению к основанию расположены не под прямым углом. Объем такой фигуры рассчитывается как произведение между площадью основания и высотой:

где S – это площадь четырехугольника, лежащего в основании, h – высота искомой фигуры.

Как найти объем многогранника – призмы

Объемная геометрическая фигура, основание которой представлено многоугольником любой формы, а боковые грани – параллелограммами, имеющими общие стороны с основанием – называется призмой. У призмы два основания, а боковых граней столько, сколько сторон у фигуры, являющейся основанием.

Для нахождения объема любой призмы, как прямой, так и наклонной, умножают площадь основания на высоту:

где S – площадь многоугольника в основании фигуры, а h – высота призмы.

Как найти объем многогранника – пирамиды

Если в основании фигуры расположен многоугольник, а боковые грани представлены в виде треугольников, смыкающихся в общей вершине, то такую фигуру называют пирамидой. Она отличается от вышеперечисленных фигур тем, что у нее имеется только одно основание, кроме этого, у нее есть вершина. Чтобы найти объем пирамиды, ее основание умножают на высоту, и делят результат на 3.