Основные виды неравенств и их свойства. Основные свойства числовых неравенств
Поле действительных чисел обладает свойством упорядоченности (п. 6, стр. 35): для любых чисел а, b имеет место одно и только одно из трех соотношений: или . При этом запись а > b означает, что разность положительна, а запись разность отрицательна. В отличие от поля действительных чисел, поле комплексных чисел не упорядочивается: для комплексных чисел понятия «больше» и «меньше» не определяются; поэтому в данной главе рассматриваются только действительные числа.
Соотношения назовем неравенствами, числа а и b - членами (или частями) неравенства, знаки > (больше) и Неравенства а > b и с > d называются неравенствами одинакового (или одного и того же) смысла; неравенства а > b и с Из определения неравенства сразу следует, что
1) любое положительное число больше нуля;
2) любое отрицательное число меньше нуля;
3) любое положительное число больше любого отрицательного числа;
4) из двух отрицательных чисел больше то, абсолютная величина которого меньше.
Все эти утверждения допускают простое геометрическое истолкование. Пусть положительное направление числовой оси идет вправо от начальной точки; тогда, каковы бы ни были знаки чисел, большее из них изображается точкой, лежащей правее точки, изображающей меньшее число.
Неравенства обладают следующими основными свойствами.
1. Несимметричность (необратимость): если , то , и обратно.
Действительно, если разность положительна, то разность отрицательна. Говорят, что при перестановке членов неравенства надо смысл неравенства изменить на противоположный.
2. Транзитивность: если , то . Действительно, из положительности разностей следует и положительность
Кроме знаков неравенства применяют также знаки неравенства и Они определяются следующим образом: запись означает, что либо либо Поэтому, например, можно писать , а также . Обычно неравенства, записанные с помощью знаков называют строгими неравенствами, а записанные с помощью знаков нестрогими неравенствами. Соответственно и сами знаки называют знаками строгого или нестрогого неравенства. Свойства 1 и 2, рассмотренные выше, верны и для нестрогих неравенств.
Рассмотрим теперь действия, которые можно производить над одним или несколькими неравенствами.
3. От прибавления к членам неравенства одного и того же числа смысл неравенства не изменяется.
Доказательство. Пусть даны неравенство и произвольное число . По определению разность положительна. Прибавим к этому числу два противоположных числа от чего оно не изменится, т. е.
Это равенство можно переписать так:
Из этого следует, что разность положительна, т. е. что
а это и надо было доказать.
На этом основана возможность перекоса любого члена неравенства из одной его части в другую с противоположным знаком. Например, из неравенства
следует, что
4. При умножении членов неравенства на одно и то же положительное число смысл неравенства не изменяется; при умножении членов неравенства на одно и то же отрицательное число смысл неравенства изменяется на противоположный.
Доказательство. Пусть тогда Если то так как произведение положительных чисел положительно. Раскрыв скобки в левой части последнего неравенства, получим , т. е. . Аналогичным образом рассматривается случай .
Точно такой же вывод можно сделать и относительно деления частей неравенства на какое-либо отличное от нуля число, так как деление на число равносильно умножению на число а числа имеют одинаковые знаки.
5. Пусть члены неравенства положительны. Тогда при возведении его членов в одну и ту же положительную степень смысл неравенства не изменяется.
Доказательство. Пусть этом случае по свойству транзитивности и . Тогда в силу монотонного возрастания степенной функции при и положительном будем иметь
В частности, если где -натуральное число, то получим
т. е. при извлечении корня из обеих частей неравенства с положительными членами смысл неравенства не изменяется.
Пусть члены неравенства отрицательны. Тогда нетрудно доказать, что при возведении его членов в нечетную натуральную степень смысл неравенства не изменится, а при возведении в четную натуральную степень изменится на противоположный. Из неравенств с отрицательными членами можно также извлекать корень нечетной степени.
Пусть, далее, члены неравенства имеют разные знаки. Тогда при возведении его в нечетную степень смысл неравенства не изменится, а при возведении в четную степень о смысле получающегося неравенства ничего определенного в общем случае сказать нельзя. В самом деле, при возведении числа в нечетную степень знак числа сохраняется и поэтому смысл неравенства не изменяется. При возведении же неравенства в четную степень образуется неравенство с положительными членами, и его смысл будет зависеть от абсолютных величин членов исходного неравенства может получиться неравенство того же смысла, что и исходное, неравенство противоположного смысла и даже равенство!
Все сказанное о возведении неравенств в степень полезно проверить на следующем примере.
Пример 1. Возвести в указанную степень следующие неравенства, изменив в случае необходимости знак неравенства на противоположный или на знак равенства.
а) 3 > 2 в степень 4; б) в степень 3;
в) в степень 3; г) в степень 2;
д) в степень 5; е) в степень 4;
ж) 2 > -3 в степень 2; з) в степень 2,
6. От неравенства можно перейти к неравенству между если члены неравенства оба положительны или оба отрицательны, то между их обратными величинами имеется неравенство противоположного смысла:
Доказательство. Если а и b - одного знака, то их произведение положительно. Разделим на неравенство
т. е. , что и требовалось получить.
Если члены неравенства имеют противоположные знаки, то неравенство между их обратными величинами имеет тот же смысл, так как знаки обратных величин те же, что и знаки самих величин.
Пример 2. Проверить последнее свойство 6 на следующих неравенствах:
7. Логарифмирование неравенств можно производить лишь в случае, когда члены неравенств положительны (отрицательные числа и нуль логарифмов не имеют).
Пусть . Тогда при будет
а при будет
Правильность этих утверждений основана на монотонности логарифмической функции, которая возрастает, если основание и убывает при
Итак, при логарифмировании неравенства, состоящего из положительных членов, по основанию, большему единицы, образуется неравенство того же смысла, что и данное, а при логарифмировании его по положительному основанию, меньшему единицы, - неравенство противоположного смысла.
8. Если , то если , но , то .
Это сразу следует из свойств монотонности показательной функции (п. 42), которая возрастает в случае и убывает, если
При почленном сложении неравенств одного и того же смысла образуется неравенство того же смысла, что и данные.
Доказательство. Докажем это утверждение для двух неравенств, хотя оно верно для любого количества складываемых неравенств. Пусть даны неравенства
По определению числа будут положительными; тогда положительной оказывается и их сумма, т. е.
Группируя иначе слагаемые, получим
и, следовательно,
а это и надо было доказать.
Нельзя сказать Ничего определенного в общем случае о смысле неравенства, получающегося при сложении двух или нескольких неравенств разного смысла.
10. Если из одного неравенства почленно вычесть другое неравенство противоположного смысла, то образуется неравенство того же смысла, что и первое.
Доказательство. Пусть даны два неравенства разного смысла. Второе из них по свойству необратимости можно переписать так: d > с. Сложим теперь два неравенства одинакового смысла и получим неравенство
того же смысла. Из последнего находим
а это и надо было доказать.
Нельзя сказать ничего определенного в общем случае о смысле неравенства, получающегося при вычитании из одного неравенства другого неравенства того же смысла.
С неравенствами мы познакомились в школе, где применяем числовые неравенства. В данной статье рассмотрим свойства числовых неравенств, не которых строятся принципы работы с ними.
Свойства неравенств аналогичны свойствам числовых неравенств. Будут рассмотрены свойства, его обоснования, приведем примеры.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Числовые неравенства: определение, примеры
При введении понятия неравенства имеем, что их определение производится по виду записи. Имеются алгебраические выражения, которые имеют знаки ≠ , < , > , ≤ , ≥ . Дадим определение.
Определение 1
Числовым неравенством называют неравенство, в записи которого обе стороны имеют числа и числовые выражения.
Числовые неравенства рассматриваем еще в школе после изучения натуральных чисел. Такие операции сравнения изучаются поэтапно. Первоначальные имею вид 1 < 5 , 5 + 7 > 3 . После чего правила дополняются, а неравенства усложняются, тогда получаем неравенства вида 5 2 3 > 5 , 1 (2) , ln 0 . 73 - 17 2 < 0 .
Свойства числовых неравенств
Чтобы правильно работать с неравенствами, необходимо использовать свойства числовых неравенств. Они идут из понятия неравенства. Такое понятие задается при помощи утверждения, которое обозначается как «больше» или «меньше».
Определение 2
- число a больше b , когда разность a - b – положительное число;
- число a меньше b , когда разность a - b – отрицательное число;
- число a равно b , когда разность a - b равняется нулю.
Определение используется при решении неравенств с отношениями «меньше или равно», «больше или равно». Получаем, что
Определение 3
- a больше или равно b , когда a - b является неотрицательным числом;
- a меньше или равно b , когда a - b является неположительным числом.
Определения будут использованы при доказательствах свойств числовых неравенств.
Основные свойства
Рассмотрим 3 основные неравенства. Использование знаков < и > характерно при свойствах:
Определение 4
- антирефлексивности , которое говорит о том, что любое число a из неравенств a < a и a > a считается неверным. Известно, что для любого a имеет место быть равенство a − a = 0 , отсюда получаем, что а = а. Значит, a < a и a > a неверно. Например, 3 < 3 и - 4 14 15 > - 4 14 15 являются неверными.
- ассиметричности . Когда числа a и b являются такими, что a < b , то b > a , и если a > b , то b < a . Используя определение отношений «больше», «меньше» обоснуем его. Так как в первой части имеем, что a < b , тогда a − b является отрицательным числом. А b − a = − (a − b) положительное число, потому как число противоположно отрицательному числу a − b . Отсюда следует, что b > a . Аналогичным образом доказывается и вторая его часть.
Пример 1
Например, при заданном неравенстве 5 < 11 имеем, что 11 > 5 , значит его числовое неравенство − 0 , 27 > − 1 , 3 перепишется в виде − 1 , 3 < − 0 , 27 .
Перед тем, как перейти к следующему свойству, заметим, что при помощи ассиметричности можно читать неравенство справа налево и наоборот. Таким образом, числовое неравенство можно изменять и менять местами.
Определение 5
- транзитивности . Когда числа a , b , c соответствуют условию a < b и b < c , тогда a < c , и если a > b и b > c , тогда a > c .
Доказательство 1
Первое утверждение можно доказать. Условие a < b и b < c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а - с представляется в виде (a − b) + (b − c) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а - с является отрицательным числом, а значит, что a < c . Что и требовалось доказать.
Аналогичным образом доказывается вторая часть со свойством транизитивности.
Пример 2
Разобранное свойство рассматриваем на примере неравенств − 1 < 5 и 5 < 8 . Отсюда имеем, что − 1 < 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 > 1 8 и 1 8 > 1 32 следует, что 1 2 > 1 32 .
Числовые неравенства, которые записываются с помощью нестрогих знаков неравенства, обладают свойством рефлексивности, потому как a ≤ a и a ≥ a могут иметь случай равенства а = а. им присуща ассиметричность и транзитивность.
Определение 6
Неравенства, имеющие в записи знаки ≤ и ≥ , имеют свойства:
- рефлексивности a ≥ a и a ≤ a считаются верными неравенствами;
- антисимметричности, когда a ≤ b , тогда b ≥ a , и если a ≥ b , тогда b ≤ a .
- транзитивности, когда a ≤ b и b ≤ c , тогда a ≤ c , а также, если a ≥ b и b ≥ c , то тогда a ≥ c .
Доказательство производится аналогичным образом.
Другие важные свойства числовых неравенств
Для дополнения основных свойств неравенств используются результаты, которые имеют практическое значение. Применяется принцип метода оценка значений выражений, на которых и базируются принципы решения неравенств.
Данный пункт раскрывает свойства неравенств для одного знака строгого неарвенства. Аналогично производится для нестрогих. Рассмотрим на примере, сформулировав неравенство если a < b и c являются любыми числами, то a + c < b + c . Справедливыми окажутся свойства:
- если a > b , то a + c > b + c ;
- если a ≤ b , то a + c ≤ b + c ;
- если a ≥ b , то a + c ≥ b + c .
Для удобного представления дадим соответствующее утверждение, которое записывается и приводятся доказательства, показываются примеры использования.
Определение 7
Прибавление или вычисления числа к обеим сторонам. Иначе говоря, когда a и b соответствуют неравенству a < b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c .
Доказательство 2
Чтобы доказать это, необходимо, чтобы уравнение соответствовало условию a < b . Тогда (a + c) − (b + c) = a + c − b − c = a − b . Из условия a < b получим, что a − b < 0 . Значит, (a + c) − (b + c) < 0 , откуда a + c < b + c . Множество действительных числе могут быть изменены с помощью прибавления противоположного числа – с.
Пример 3
К примеру, если обе части неравенства 7 > 3 увеличиваем на 15 , тогда получаем, что 7 + 15 > 3 + 15 . Это равно 22 > 18 .
Определение 8
Когда обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же число c , получим верное неравенство. Если взять число c отрицательным, то знак поменяется на противоположный. Иначе это выглядит так: для a и b неравенство выполняется, когда a < b и c являются положительными числами, то a· c < b · c , а если v является отрицательным числом, тогда a · c > b · c .
Доказательство 3
Когда имеется случай c > 0 , необходимо составить разность левой и правой частей неравенства. Тогда получаем, что a · c − b · c = (a − b) · c . Из условия a < b , то a − b < 0 , а c > 0 , тогда произведение (a − b) · c будет отрицательным. Отсюда следует, что a · c − b · c < 0 , где a · c < b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом.
При доказательстве деление на целое число можно заменить умножением на обратное заданному, то есть 1 c . Рассмотрим пример свойства на определенных числах.
Пример 4
Разрешено обе части неравенства 4 < 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 < 6 · 0 , 5 , где − 2 < 3 . Когда обе части делим на - 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8: (− 4) ≥ 12: (− 4) , где 2 ≥ − 3 .
Теперь сформулируем вытекающие два результата, которые используются при решении неравенств:
- Следствие 1. При смене знаков частей числового неравенства меняется сам знак неравенства на противоположный, как a < b , как − a > − b . Это соответствует правилу умножения обеих частей на - 1 . Оно применимо для перехода. Например, − 6 < − 2 , то 6 > 2 .
- Следствие 2. При замене обратными числами частей числового неравенства на противоположный, меняется и его знак, причем неравенство останется верным. Отсюда имеем, что a и b являются положительными числами, a < b , 1 a > 1 b .
При делении обеих частей неравенства a < b разрешается на число a · b . Данное свойство используется при верном неравенстве 5 > 3 2 имеем, что 1 5 < 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a < b , неравенство 1 a > 1 b может получиться неверным.
Пример 5
Например, − 2 < 3 , однако, - 1 2 > 1 3 являются неверным равенством.
Все пункты объединяет то, что действия над частями неравенства дают верное неравенство на выходе. Рассмотрим свойства, где изначально имеется несколько числовых неравенств, а его результат получим при сложении или умножении его частей.
Определение 9
Когда числа a , b , c , d справедливы для неравенств a < b и c < d , тогда верным считается a + c < b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства.
Доказательство 4
Докажем, что (a + c) − (b + d) является отрицательным числом, тогда получим, что a + c < b + d . Из условия имеем, что a < b и c < d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям одинаковое число. Тогда увеличим неравенство a < b на число b , при c < d , получим неравенства вида a + c < b + c и b + c < b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности.
Свойство применяется для почленного сложения трех, четырех и более числовых неравенств. Числам a 1 , a 2 , … , a n и b 1 , b 2 , … , b n справедливы неравенства a 1 < b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , можно доказать метод математической индукции, получив a 1 + a 2 + … + a n < b 1 + b 2 + … + b n .
Пример 6
Например, при данных трех числовых неравенствах одного знака − 5 < − 2 , − 1 < 12 и 3 < 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + (− 1) + 3 < − 2 + 12 + 4 является верным.
Определение 10
Почленное умножение обеих частей дает в результате положительное число. При a < b и c < d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d считается справедливым.
Доказательство 5
Чтобы доказать это, необходимо обе части неравенства a < b умножить на число с, а обе части c < d на b . В итоге получим, что неравенства a · c < b · c и b · c < b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c < b · d .
Это свойство считается справедливым для количества чисел, на которые необходимо умножить обе части неравенства. Тогда a 1 , a 2 , … , a n и b 1 , b 2 , … , b n являются положительные числами, где a 1 < b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , то a 1 · a 2 · … · a n < b 1 · b 2 · … · b n .
Заметим, что при записи неравенств имеются неположительные числа, тогда их почленное умножение приводит к неверным неравенствам.
Пример 7
К примеру, неравенство 1 < 3 и − 5 < − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · (− 5) < 3 · (− 4) , считается, что − 5 < − 12 это является неверным неравенством.
Следствие: Почленное умножение неравенств a < b с положительными с a и b , причем получается a n < b n .
Свойства числовых неравенств
Рассмотрим ниже приведенную свойства числовых неравенств.
- a < a , a > a - неверные неравенства,
a ≤ a , a ≥ a - верные неравенства. - Если a < b , то b > a - антисимметричность.
- Если a < b и b < c то a < c - транзитивность.
- Если a < b и c - любоое число, то a + b < b + c .
- Если a < b и c - положительное число, то a · c < b · c ,
Если a < b и c - отрицательное число, то a · c > b · c .
Следствие 1: если a < b , то - a > - b .
Следствие 2: если a и b - положительные числа и a < b , то 1 a > 1 b .
- Если a 1 < b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 + a 2 + . . . + a n < b 1 + b 2 + . . . + b n .
- Если a 1 , a 2 , . . . , a n , b 1 , b 2 , . . . , b n - положительные числа и a 1 < b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 · a 2 · . . . · a n < b 1 · b 2 · . . . b n .
Cледствие 1: если a < b , a и b - положительные числа, то a n < b n .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Урок и презентация на тему: "Основные свойства числовых неравенств и способы их решения."
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 8 класса
Комбинаторика и теория вероятностей
Уравнения и неравенства
Введение в числовые неравенства
Ребята, с неравенствами мы уже сталкивались, например, когда начинали знакомиться с понятием корня квадратного . Интуитивно понятно, что с помощью неравенств можно оценить, какое из данных чисел больше или меньше. Для математического описания достаточно добавить специальный символ, который будет означать либо больше, либо меньше.Запись выражения $a>b$ на математическом языка означает, что число $a$ больше числа $b$. В свою очередь, это значит, что $a-b$ - положительное число. Как и практически все математические объекты неравенства имеют некоторые свойства. Изучением этих свойств мы и займемся на этом уроке. Свойство 1.
Доказательство. Более наглядно данное свойство можно показать, используя числовую прямую. Если $a>b$, то число $a$ на числовой прямой будет лежать правее $b$. Соответственно, если $b>c$, то число $b$ будет лежать правее числа $с$.
Свойство 2.
Свойство 3.
Свойство 4.
Доказательство. Свойство 5.
Доказательство. Определение. Тогда свойство 5 можно перефразировать. При умножение неравенств одного смысла, у которых левые и правые части положительные, получается неравенство того же смысла.
Свойство 6.
Свойство 7.
Доказательство. Мы знаем, что $a-b$ - положительное число, и произведение двух положительных чисел - тоже положительное число, т.е. $ab>0$. Свойство 8.
Доказательство. Свойство 9.
Неравенство Коши (среднее арифметическое больше либо равно среднего геометрического). Доказательство. Решение. Б) Воспользуемся свойством 3. Умножим на отрицательное число, значит знак неравенства меняется. Г) Умножим все части неравенства $3.1 Д) Все части неравенства положительны, возведя их в квадрат, получим неравенство того же смысла. Е) Степень неравенства нечетная, тогда можно смело возводить в степень и не менять знак. Ж) Воспользуемся свойством 7. Пример 2. Решение. § 1 Универсальный способ сравнения чисел
Познакомимся с основными свойствами числовых неравенств, а также рассмотрим универсальный способ сравнения чисел. Результат сравнения чисел можно записать с помощью равенства или неравенства. Неравенство может быть строгим и нестрогим. Например, а>3 - это строгое неравенство; а≥3 - это нестрогое неравенство. Способ сравнения чисел зависит от вида сравниваемых чисел. Например, если надо сравнить десятичные дроби, то мы сравниваем их поразрядно; если необходимо сравнить обыкновенные дроби с разными знаменателями, то надо привести их к общему знаменателю и сравнить числители. Но существует универсальный способ сравнения чисел. Он состоит в следующем: находят разность чисел a и b; если a - b > 0, то есть положительное число, то a > b; если a - b < 0, то есть отрицательное число, то a < b; если a - b = 0, то a = b. Этот способ удобно использовать для доказательства неравенств. Например, доказать неравенство: 2b2 - 6b + 1 > 2b(b- 3) Воспользуемся универсальным способом сравнения. Найдем разность выражений 2b2 - 6b + 1и 2b(b - 3); 2b2 - 6b + 1- 2b(b-3)= 2b2 - 6b + 1 - 2b2 + 6b; приведем подобные слагаемые и получим 1. Так как 1 больше нуля, положительное число, то 2b2 - 6b+1 > 2b(b-3). § 2 Cвойства числовых неравенств
Свойство 1. Если a> b, b > c, то a> c. Доказательство. Если a > b, то значит, разность a - b > 0, то есть положительное число. Если b >c, значит, разность b - c > 0, положительное число. Сложим положительные числа a - b и b - c, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, получим (a - b) +(b - c) = a- b +b - c= a - c. Так как сумма положительных чисел - число положительное, значит, a - c положительное число. Следовательно, a > c, что и требовалось доказать. Свойство 2. Если a < b, c- любое число, то a + с < b+ с. Это свойство можно трактовать так: «К обеим частям верного неравенства можно прибавить одно и то же число, при этом знак неравенства не изменится». Доказательство. Найдем разность выражений a + с и b+ с, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, получим (a + с) - (b+ с) = a + с - b - с = a - b. По условию a < b, тогда разность a - b- отрицательное число. Значит, и разность (a + с) -(b+ с) отрицательна. Следовательно, a + с < b+ с, что и требовалось доказать. Свойство 3. Если a < b, c - положительное число, то aс < bс. Если a < b, c- отрицательное число, то aс > bс. Доказательство. Найдем разность выражений aс и bс, вынесем за скобки с, тогда имеем aс-bс = с(a-b). Но так как a Если отрицательное число a-b умножим на положительное число с, то произведение с(a-b) отрицательно, следовательно, разность aс-bс отрицательна, а значит, aс Если же отрицательное число a-b умножить на отрицательное число с, то произведение с(a-b) будет положительно, следовательно, и разность aс-bс будет положительна, значит, aс>bс. Что и требовалось доказать. Например, a Так как деление можно заменить умножением на число обратное, = n∙, то доказанное свойство можно применить и для деления. Таким образом, смысл этого свойства в следующем: «Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, при этом знак неравенства не изменится. Обе части неравенства можно умножить или разделить на отрицательное число, при этом необходимо поменять знак неравенства на противоположный знак». Рассмотрим следствие к свойству 3. Следствие. Если a Доказательство. Разделим обе части неравенства a
сократим дроби и получим Утверждение доказано. Действительно, например, 2 < 3, но Свойство 4. Если a > b и c > d, то a + c > b+ d. Доказательство. Так как a>b и c >d, то разности a-b и c-d - положительные числа. Тогда сумма этих чисел также положительное число (a-b)+(c-d). Раскроем скобки и сгруппируем (a-b)+(c-d) = a-b+ c-d= (a+с)-(b+ d). В виду этого равенства полученное выражение (a+с)-(b+ d) будет положительным числом. Следовательно, a+ c> b+ d. Неравенства вида a>b, c >d или a < b, c< d называют неравенствами одинакового смысла, а неравенства a>b , c Свойство 5. Если a > b, c > d, то ac> bd, где a, b, c , d- положительные числа. Доказательство. Так как a>b и с - положительное число, то, используя свойство 3, получим aс > bс. Так как c >d и b- положительное число, то bc > bd. Следовательно, по первому свойству ac > bd. Смысл доказанного свойства в следующем: «Если умножить почленно неравенства одинакового смысла, у которых левая и правая части - положительные числа, то получим неравенство того же смысла» Например, 6 < a < 7, 4 < b< 5 тогда, 24 < ab < 35. Свойство 6. Если a < b, a и b - положительные числа, то an< bn, где n- натуральное число. Доказательство. Если почленно перемножить n данных неравенств a < b, то, согласно утверждению свойства 5, получим an< bn. Прочесть доказанное утверждение можно так: «Если обе части неравенства - положительные числа, то их можно возвести в одну и ту же натуральную степень, сохранив знак неравенства». § 3 Применение свойств
Рассмотрим пример на применение рассмотренных нами свойств. Пусть 33 < a < 34, 3 < b< 4. Оценить сумму a + b, разность a - b, произведение a ∙ b и частное a: b. 1) Оценим сумму a + b. Используя свойство 4, получим 33 + 3< a + b < 34 + 4 или 36 < a+ b <38. 2) Оценим разность a - b. Так как нет свойства на вычитание, то разность a - b заменим суммой a +(-b). Сначала оценим (- b). Для этого, используя свойство 3, обе части неравенства 3 < b< 4 умножим на -1, при этом меняем знак неравенства на противоположный знак 3 ∙ (-1) > b∙ (-1) > 4 ∙ (-1). Получим -4< -b< -3. Теперь можно сложить два неравенства одного знака 33< a < 34 и -4< -b< -3. Имеем 2 9< a - b <31. 3) Оценим произведение a ∙ b. По свойству 5 перемножим неравенства одного знака 1) Основное понятие неравенства 2) Основные свойства числовых неравенств. Неравенства содержащие переменную. 3) Графическое решение неравенств второй степени 4) Системы неравенств. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными. 5) Решение рациональных неравенств методом интервалов 6) Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля 1. Основное понятие неравенства
Неравенство — соотношение между числами (или любыми математическими выражениями, способными принимать численное значение), указывающее, какое из них больше или меньше другого. Над этими выражениями можно по определенным правилам производить следующие действия: сложение, вычитание, умножение и деление (причем при умножении или делении Н. на отрицательное число смысл его меняется на противоположный). Одно из основных понятий линейного программирования
— линейные неравенства
вида a
1 x
1 + a
2 x
2 +... + a n x n
* b
, где a
1 ,..., a n
, b
— постоянные и знак * — один из знаков неравенства, напр. ≥, · алгебраические · трансцендентные Алгебраические неравенства подразделяются на неравенства первой, второй, и т. д. степени. Неравенство - алгебраическое, второй степени. Неравенство - трансцендентное. 2.
Основные свойства числовых неравенств
. Неравенства содержащие переменную
1) Графиком квадратичной функции y = ах 2 +bх + с
является парабола с ветвями, направленными вверх, если а > 0
, и вниз, если а (иногда говорят, что парабола направлена выпуклостью вниз, если а > 0
и выпуклостью вверх, если а). При этом возможны три случая:
2) Парабола пересекает ось 0х (т. е. уравнение ах 2 + bх + с = 0
имеет два различных корня). То есть, если а y = ах 2 +bх + с
a>0 D>0
y = ах 2 +bх + с
a
D
>0,
Парабола имеет вершину на оси 0х (т. е. уравнение ах 2 + х + с = 0
имеет один корень, так называемый двукратный корень) То есть, если d=0, то при a>0 решением неравенства служит вся числовая прямая, а при a ах 2 + х + с y = ах 2 +bх + с
a>0 D
=
0
y = ах 2 +bх + с
a
D
=0,
3) Если d0 и ниже ее при a y = ах 2 +bх + с
a>0 D
0
y = ах 2 +bх + с
a
D0,
4) Решить неравенство графическим способом 1. Пусть f(x) = 3х 2 -4х - 7 тогда найдем такие х при которых f(x) ; 2. Найдем нули функции. f(x) при х . Ответ f(x) при х . Пусть f(x)=х 2 +4х +5 тогда Найдем такие х при которых f(x)>0, D=-4 Нет нулей. 4. Системы неравенств. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными
1) Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений входящих в нее неравенств. 2) Множество решений неравенства f(х;у)>0 можно графически изобразить на координатной плоскости. Обычно линия, заданная уравнением f(х;у)=0 ,разбивает плоскость на 2 части, одна из которых является решением неравенства. Чтобы определить, какая из частей, надо подставить координаты произвольной точки М(х0;у0) , не лежащей на линии f(х;у)=0, в неравенство. Если f(х0;у0) > 0 , то решением неравенства является часть плоскости, содержащая точку М0. если f(х0;у0) 3) Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений входящих в нее неравенств. Пусть, например, задана система неравенств: Для первого неравенства множество решений есть круг радиусом 2 и с центром в начале координат, а для второго- полуплоскость, расположенная над прямой 2х+3у=0. Множеством решений данной системы служит пересечение указанных множеств, т.е. полукруг. 4) Пример. Решить систему неравенств: Решением 1-го неравенства служит множество , 2-го множество (2;7) и третьего - множество . Пересечением указанных множеств является промежуток(2;3], который и есть множество решений системы неравенств. 5. Решение рациональных неравенств методом интервалов
В основе метода интервалов лежит следующее свойство двучлена (х-а
): точка х=α
делит числовую ось на две части — справа от точки α
двучлен (х‑α)>0
, а слева от точки α (х-α) .
Пусть требуется решить неравенство (x-α 1)(x-α 2)...(x-α n)>0
, где α 1 , α 2 ...α n-1 , α n — фиксированные числа, среди которых нет равных, причем такие, что α 1 (x-α 1)(x-α 2)...(x‑α n)>0 методом интервалов поступают следующим образом: на числовую ось наносят числа α 1 , α 2 ...α n-1 , α n ; в промежутке справа от наибольшего из них, т.е. числа α n
, ставят знак «плюс», в следующем за ним справа налево интервале ставят знак «минус», затем — знак «плюс», затем знак «минус» и т.д. Тогда множество всех решений неравенства (x-α 1)(x‑α 2)...(x-α n)>0
будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «плюс», а множество решений неравенства (x-α 1)(x-α 2)...(x‑α n) будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «минус».
1) Решение рациональных неравенств (т.е неравенств вида P(x) Q(x) где - многочлены) основано на следующем свойстве непрерывной функции: если непрерывная функция обращается в нуль в точках х1 и х2 (х1;х2) и между этими точками не имеет других корней, то в промежутках(х1;х2) функция сохраняет свой знак. Поэтому для нахождения промежутков знакопостоянства функции y=f(x) на числовой прямой отмечают все точки, в которых функция f(x) обращается в нуль или терпит разрыв. Эти точки разбивают числовую прямую на несколько промежутков, внутри каждого из которых функция f(x) непрерывна и не обращается в нуль, т.е. сохраняет знак. Чтобы определить этот знак, достаточно найти знак функции в какой либо точке рассматриваемого промежутка числовой прямой. 2) Для определения интервалов знакопостоянства рациональной функции, т.е. Для решения рационального неравенства, отмечаем на числовой прямой корни числителя и корни знаменателя, которые как и являются корнями и точками разрыва рациональной функции. Решение неравенств методом интервалов Решение
. Область допустимых значений определяется системой неравенств: Для функции f(x)
= - 20. Находим f(x)
: откуда x
= 29 и x
= 13. f
(30) = - 20 = 0,3 > 0, f
(5) = - 1 - 20 = - 10 Ответ:
}
Запись выражения $a
Если $a>b$ и $b>c$, то $a>c$.
Очевидно, что $10>5$, и $5>2$, и конечно $10>2$. Но математика любит строгие доказательства для самого общего случая.
Если $a>b$, то $a-b$ - положительное число. Если $b>c$, то $b-c$ - положительное число. Давайте сложим два полученных положительных числа.
$a-b+b-c=a-c$.
Сумма двух положительных чисел есть положительное число, но тогда $a-c$ также положительное число. Из чего следует, что $a>c$. Свойство доказано.
Как видно из рисунка точка $a$ в нашем случае находится правее точки $c$, а это означает, что $a>c$.
Если $a>b$, то $a+c>b+c$.
Иначе говоря, если число $a$ больше числа $b$, то какое бы мы число не прибавили (положительное или отрицательное) к этим числам, знак неравенства будет также сохраняться. Доказывается данное свойство очень легко. Нужно выполнить вычитание. Та переменная, которую прибавляли, исчезнет и получится верное исходное неравенство.
а) Если обе части неравенства умножить на положительное число, то знак неравенства сохраняется.
Если $a>b$ и $c>0$, тогда $ac>bc$.
б) Если обе части неравенства умножить на отрицательное число, то знак неравенства следует поменять на противоположный.
Если $a>b$ и $c
Если $a
При делении следует действовать тем же образом (делим на положительное число - знак сохраняется, делим на отрицательно число - знак меняется).
Если $a>b$ и $c>d$, то $a+c>b+d$.
Из условия: $a-b$ - положительное число и $c-d$ - положительное число.
Тогда сумма $(a-b)+(c-d)$ - тоже положительное число.
Поменяем местами некоторые слагаемые $(a+с)-(b+d)$.
От перемены мест слагаемых сумма не изменяется.
Значит $(a+с)-(b+d)$ - положительное число и $a+c>b+d$.
Свойство доказано.
Если $a, b ,c, d$ - положительные числа и $a>b$, $c>d$, то $ac>bd$.
Так как $a>b$ и $c>0$, то, используя свойство 3, имеем $ac>bc$.
Так как $c>d$ и $b>0$, то, используя свойство 3, имеем $cb>bd$.
Итак, $ac>bc$ и $bc >bd$.
Тогда, используя свойство 1, получаем $ac>bd$. Что и требовалось доказать.
Неравенства вида $a>b$ и $c>d$ ($a
Если $a>b$ ($a>0$, $b>0$), то $a^n>b^n$, где $n$ – любое натуральное число.
Если обе части неравенства положительные числа и их возвести в одну и ту же натуральную степень, то получится неравенство того же смысла.
Заметим: если $n$ – нечетное число, то для любых по знаку чисел $a$ и $b$ свойство 6 выполняется.
Если $a>b$ ($a>0$, $b>0$), то $\frac{1}{a}
Чтобы доказать данное свойство, необходимо при вычитании $\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$ получить отрицательное число.
$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b-a}{ab}=\frac{-(a-b)}{ab}$.
Тогда $\frac{-(a-b)}{ab}$ - отрицательное число. Свойство доказано.
Если $a>0$, то выполняется неравенство: $a+\frac{1}{a}≥2$.
Рассмотрим разность.
$a+\frac{1}{a}-2=\frac{a^2-2a+1}{a}=\frac{(a-1)^2}{a}$ - неотрицательное число.
Свойство доказано.
Если $a$ и $b$ - неотрицательные числа, то выполняется неравенство: $\frac{a+b}{2}≥\sqrt{ab}$.
Рассмотрим разность:
$\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}=\frac{a-2\sqrt{ab}+b}{2}=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{2}$ - неотрицательное число.
Свойство доказано.Примеры решения неравенств
Пример 1.
Известно, что $-1.5
б) $-2b$.
в) $a+b$.
г) $a-b$.
д) $b^2$.
е) $a^3$.
ж) $\frac{1}{b}$.
а) Воспользуемся свойством 3. Умножим на положительное число, значит знак неравенства не меняется.
$-1.5*3
$-2*3.1>-2*b>-2*5.3$.
$-10.3
в) Сложив неравенства одинакового смысла, получим неравенство того же смысла.
$-1.5+3.1
Теперь выполним операцию сложения.
$-1.5-5.3
${3.1}^2
${(-1.5)}^3
$\frac{1}{5.3}<\frac{1}{b}<\frac{1}{3.1}$.
$\frac{10}{53}<\frac{1}{b}<\frac{10}{31}$.
Сравните числа:
а) $\sqrt{5}+\sqrt{7}$ и $2+\sqrt{8}$.
б) $π+\sqrt{8}$ и $4+\sqrt{10}$.
а) Возведем каждое из чисел в квадрат.
$(\sqrt{5}+\sqrt{7})^2=5+2\sqrt{35}+7=12+\sqrt{140}$.
$(2+\sqrt{8})^2=4+4\sqrt{8}+8=12+\sqrt{128}$.
Вычислим разность квадратов этих квадратов.
$(\sqrt{5}+\sqrt{7})^2-(2+\sqrt{8})^2=12+\sqrt{140}-12-\sqrt{128}=\sqrt{140}-\sqrt{128}$.
Очевидно, получили положительное число, что означает:
$(\sqrt{5}+\sqrt{7})^2>(2+\sqrt{8})^2$.
Так как оба числа положительных, то:
$\sqrt{5}+\sqrt{7}>2+\sqrt{8}$.Задачи для самостоятельного решения
1. Известно, что $-2.2
а) $4a$.
б) $-3b$.
в) $a+b$.
г) $a-b$.
д) $b^4$.
е) $a^3$.
ж) $\frac{1}{b}$.
2. Сравните числа:
а) $\sqrt{6}+\sqrt{10}$ и $3+\sqrt{7}$.
б) $π+\sqrt{5}$ и $2+\sqrt{3}$.
Оладьи из кабачков в духовке Оладушки из кабачков в духовке
Ремонт в новой квартире во сне
Что было до Большого взрыва?
Пасьянс любит - не любит Любит не любит гадать на картах онлайн