Подготовка к ЕГЭ по математике (профильный уровень): задания, решения и объяснения. Теория по математике (профильной)

Автор Багменова Т. А. учитель математики МБОУ СОШ № 14 г. Новочеркасска Ростовской области .

При решении заданий на применение производной при подготовке к ЕГЭ встречается большое разнообразие заданий, что наталкивает на необходимость разбить задания на группы сопроводив теоретическим материалом по теме «Производная».

Рассмотрим примеры заданий № 7 по теме «Производная» профильного уровня по математике, разбив их на группы.

1 . Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [ a ; b ] и дифференцируема на интервале (a;b). Тогда если производная функции больше нуля для всех x принадлежащих [ a ; b ], то функция возрастает на [ a ; b ], а если производная функции меньше нуля, то она убывает на этом отрезке.

Примеры:

1)

Решение.

В точках и точках функция убывает, следовательно производная функции в этих точках отрицательна.

Ответ: 2.

2)

Решение.

На промежутках (-2;2), (6;10) производная функции отрицательна, следовательна функция на этих промежутках убывает. Длина и того и другого промежутка 4.

Ответ: 4.

3)

Решение.

На отрезке производная функции положительна, следовательна функция на этом промежутке возрастает, следовательно наименьшее значение функция принимает в точке 3.

Ответ: 3.

4)

Решение.

На отрезке [-2;3] производная функции отрицательна, следовательна функция на этом промежутке убывает, следовательно наибольшее значение функция принимает в точке -2.

Ответ: -2.

2 . Если в точке производная функции меняется знак с «-» на «+», то это точка минимума функции; если в точке производная функции меняется знак с «+» на «-», то это точка максимума функции.

Пример:

Решение.

В точке х=3; х=13 производная функции меняется знак с «-» на «+», следовательно это точки минимума функции.

Ответ: 2.

3. Условие( x )=0 является необходимым условием экстремума дифференцируемой функции f ( x ). Так как в точках пересечения графика производной функции с осью Ох производная функции равна нулю, то данные точки являются точками экстремума.

Пример:

Решение.

Точек пересечения графика производной функции с осью Ох на заданном отрезке 4, следовательно точек экстремума 4.

Ответ: 4.

4 . Производная функции равна нулю в точках экстремума функции. В данной задаче это точки где функция переходит с возрастания на убывания или наоборот.

Пример:

Решение.

В точках производная равна нулю.

Ответ: 4.

5. Найти значение производной функции в точке, это значит найти тангенс угла наклона касательной к оси Ох или к прямой параллельной оси Ох. Если угол наклона касательной к оси Ох острый, то тангенс угла положительный, если угол наклона касательной к оси Ох тупой, то тангенс угла отрицательный.

Пример:

Решение.

Построим прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза будет лежать на касательной, а один из катетов лежит на оси Ох или на прямой параллельной оси Ох, затем посчитаем длины катетов и вычислим тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Противолежащий катет равен 2, прилежащий катет равен 8, следовательно тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен 0,25. Угол наклона касательной к оси Ох тупой, следовательно тангенс угла наклона касасательной отрицательный, следовательно значение производной функции в точке равно -0,25.

Ответ: - 0,25.

6. 1) Угловые коэффициенты параллельных прямых равны.

2) Значение производной функции f ( x y = f ( x ) в точке (; f ()).

Пример.

Решение.

Угловой коэффициент прямой равен 2. Так как значение производной функции f ( x ) в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f ( x ) в точке (; f ()), то найдем точки, в которых производная функции f ( x ) равна 2. Таких точек на данном графике 4. Следовательно количество точек в которых касательная к графику функции f ( x ) параллельна данной прямой или совпадает с ней равно 4.

Ответ: 4.

Используемая литература:

Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е. и др. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровень). 10 кл. – Просвещение. 2014 г.

ЕГЭ: 4000 задач с ответами по математике. Все задания «Закрытый сегмент». Базовый и профильный уровень. Под редакцией И. В. Ященко.- М.: Издательство «Экзамен»,-2016.-640с.

ЕГЭ по математике (профиль) сдается по выбору. Этот экзамен нужен тем, кто планирует в дальнейшем изучать эту дисциплину, поступать на экономический, математических факультет, продолжать учебу в технических вузах. Профильный уровень, в отличие от базового, требует углубленных познаний. На экзамене уделяется внимание навыкам практического применения полученных за годы учебы навыков, но не менее важно знание теории для ЕГЭ по математике.

Что нужно знать?

Как и при сдаче ЕГЭ базового уровня потребуются знания, полученные из школьных курсов алгебры и геометрии, умения работать с различными неравенствами и уравнениями, свободно ориентироваться в терминологии и знать алгоритмы решения различных задач. Для успешного выполнения заданий повышенной сложности необходимы знания в следующих областях:

• планиметрия;
• неравенства;
• проценты;
• прогрессии;
• стереометрия;
• уравнения;
• параметрические системы, уравнения, неравенства;
• финансовая математика.

Без теории в процессе подготовки не обойтись: не зная правила, аксиомы и теоремы, невозможно решать представленные в экзаменационных билетах задачи. В то же время ошибкой будет изучение теории в ущерб практике. Простое зазубривание правил не поможет на экзамене – важно развивать и совершенствовать умение применять полученные знания при решении задач.

Как готовиться к экзамену?

Начинать готовиться к экзамену лучше в начале учебного года. В таком случае вы сможете спокойно, без спешкипройти все разделы, а затем повторить их, освежив знания непосредственно перед тестированием.

Классический способ подготовки – просто читать учебник подряд, заучивая наизусть правила – неэффективен. Чтобы запомнить информацию, ее необходимо понять. Можно, например, попробовать, прочитав правило, пересказать его своими словами или объяснить самому себе. Такой подход позволяет надолго запомнить прочитанное.

Отдельные формулы и аксиомы придется заучивать наизусть. Чтобы облегчить процесс запоминания, стоит позаботиться о том, чтобы нужные данные все время были на виду – на стене около кровати, в ванной, на холодильнике, над письменным столом. Если таблицы с формулами все время будет перед глазами, они постепенно запомнятся без особых усилий.

Тем, кто готовится к ЕГЭ не в одиночестве, а в компании других выпускников, можно посоветовать объяснять теорию друг другу. Этот метод дисциплинирует и помогает лучше усвоить материал.

При выполнении практических заданий необходимо анализировать наиболее часто встречающиеся ошибки. Если они связаны не с невнимательностью, а с незнанием тех или иных правил, важно внимательно изучить такие темы. Вся теория структурирована, и поиск нужных правил займет минимум времени.

Теория важна, но без практики не обойтись. Во время экзамена проверяется как раз умение применять полученные знания. Необходимо упражняться, раз за разом отрабатывая одни и те же алгоритмы, повторяя одни и те же темы, пока выполнение заданий не перестанет вызывать затруднения. Без практического применения знания бесполезны и легко забываются.

Мы желаем вам успехов в изучении теории и применении полученных знаний на экзамене!

Для успешного решения профильных вариантов ЕГЭ по математике стоит отказаться от подобного алгоритма. При подготовке к экзамену нужно делать упор не на его сдачу как самоцель, а на повышение уровня знаний учащегося. Для этого необходимо изучать теорию, отрабатывать навыки, решая разнообразные варианты профильного ЕГЭ по математике нестандартными способами с развернутыми ответами, следить за динамикой обучения. А поможет вам во всем этом образовательный проект «Школково».

Почему вам стоит выбрать наш ресурс?

Мы не предлагаем вам типовые примеры профильных задач ЕГЭ по математике, которые кочуют на просторах Интернета с одного сайта на другой. Наши специалисты самостоятельно разработали базу заданий, которая состоит из интересных и уникальных упражнений и ежедневно пополняется. Все задачи ЕГЭ по математике профильного уровня содержат ответы и подробные решения. Они позволяют выявить сильные и слабые стороны в подготовке школьника и научить его мыслить свободно и нестандартно.

Для того чтобы выполнять задачи и просматривать решения заданий ЕГЭ по математике профильного уровня, выберите упражнение в «Каталоге». Сделать это довольно просто, поскольку он имеет понятную структуру, которая включает в себя темы и подтемы. Все задания расположены по возрастанию от простых до более сложных и содержат ответы на профильный ЕГЭ по математике с решением.

Кроме того, ученику предоставляется возможность самостоятельно формировать варианты задач. С помощью «Конструктора» он может выбирать задания ЕГЭ по математике профильного уровня на любую интересующую его тему и просматривать их решения. Это позволит отработать навыки по конкретному разделу, например, геометрии или алгебре.

Также учащийся может сделать разбор заданий профильного ЕГЭ по математике в «Личном кабинете ученика». В этом разделе школьник сможет отслеживать собственную динамику и общаться с преподавателем.

Все это поможет вам эффективно подготовиться к профильному ЕГЭ по математике и с легкостью найти решения даже самых сложных задач.

Практика показывает, что задачи на нахождение площади треугольника встречаются в ЕГЭ из года в год. Именно поэтому, если учащиеся хотят получить достойные баллы по итогам прохождения аттестационного испытания, им непременно стоит повторить эту тему и снова разобраться в материале.

Как подготовиться к экзамену?

Научиться решать задачи на нахождение площади треугольника, подобные тем, которые встречаются в ЕГЭ, вам поможет образовательный проект «Школково». Здесь вы найдете весь необходимый материал для подготовки к прохождению аттестационного испытания.

Для того чтобы упражнения по теме «Площадь треугольника в задачах ЕГЭ» не вызывали у выпускников затруднений, рекомендуем прежде всего освежить в памяти базовые тригонометрические понятия и правила. Для этого достаточно перейти в раздел «Теоретическая справка». Там представлены основные определения и формулы, которые помогут при нахождении правильного ответа.

Чтобы закрепить усвоенный материал и попрактиковаться в решении задач, предлагаем выполнить упражнения, которые подобрали специалисты образовательного проекта «Школково». Каждое задание на сайте имеет правильный ответ и подробное описание способа решения. Учащиеся могут практиковаться как с простыми, так и с более сложными задачами.

«Прокачать» свои навыки в выполнении подобных упражнений школьники могут в режиме онлайн как в Москве, так и в любом другом городе России. В случае необходимости выполненное задание можно сохранить в разделе «Избранное», чтобы в дальнейшем вернуться к нему и обсудить ход решения с преподавателем.

В данной статье представлен разбор заданий 9-12 части 2 ЕГЭ по математике профильного уровня от репетитора по математике и физике. Видеоурок репетитора с разбором предложенных заданий содержит подробные и понятные комментарии по каждому из них. Если вы только начали подготовку к ЕГЭ по математике, данная статья может оказаться для вас очень полезной.

9. Найдите значение выражения

Используя свойства логарифмов, с которыми вы можете подробно ознакомиться в или в предлагаемом выше видеоуроке, преобразуем выражение:

10. Пружинный маятник совершает колебания с периодом T = 16 с. Масса подвешенного груза m = 0,8 кг. Скорость движения груза изменяется с течение времени в соответствии с формулой . При этом м/с. Определяющая формула кинетической энергии (в джоулях) имеет вид: , где m берётся в килограммах, — в метрах в секунду. Чему в джоулях равна кинетическая энергия груза через 10 с после начала колебательного движения?

Скорость движения груза через 10 с после начала колебательного движения будет равна:

Тогда кинетическая энергия в этот момент времени будет равна:

Дж.

Пусть x — цена одного леденца, а y — цена шоколадки. Тогда 6 леденцов стоят 6x , а 2% от стоимости шоколадки равны 0,02y . Поскольку известно, что 6 леденцов стоят дешевле шоколадки на 2%, то имеет место первое уравнение: 6x + 0,02y = y , из которого получаем, что x = 0,98/6 y = 98/600 y = 49/300 y . В свою очередь 9 леденцов стоят 9x , то есть 9·49/300 y = 49/300 y = 1,47 y . Задача сводится к тому, чтобы определить на сколько процентов 1,47y больше, чем y . Если y составляет 100%, то 1,47y составляет 1,47·100% = 147%. То есть 1,47y большем, чем y на 47%.

12. Найдите точку минимума функции .

1) ОДЗ задаётся неравенством: title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="23" width="106" style="vertical-align: -5px;"> (так выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть больше нуля), откуда получаем, что .

2) Ищем производную функции. Подробный рассказ о том, как вычисляется производная данной функции, смотрите в видео выше. Производная функции равна:

3) Ищем значения x , при которых производная равна 0 или не существует. Она не существует при , так как в этом случае знаменатель обращается в нуль. Производная обнуляется, когда.